Svinkovod.ru

Бытовая техника
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

4. 1. 5. Метод итераций (метод последовательных приближений)

4.1.5. Метод итераций (метод последовательных приближений).

Одним из наиболее распространенных методов уточнения корней уравнения при решении инженерных задач является итерационный метод или метод последовательных приближений. Метод простой итерации используется для решения нелинейного уравнения с выделенным линейным членом вида

и состоит в построении последовательности х, начиная от некоторого заданного начального значения х по правилу

Если U(x) — непрерывная функция, а Xn— последовательность, которая сходится, то значение есть решение уравнения (4.4). Построение нескольких последовательных приближений за (4.5) приведено на рис 4.7.

Преобразование решения с целью выделения линейного члена можно провести разными путями. Например, если f(x)=x 2c=0, то можно

а) прибавить к правой или левой части х: x=x 2 +x-c

б) поделить все составные на х: х=с/х и т.д.

Условия сходимости. Если |U'(x)|<1, то процесс сходится, если же |U'(x)|>1, то расходится. Неравенство надо проверять для всех х, вычисленных в ходе решения. Сходимость метода итераций зависит от выбора вида уравнения с выделенным линейным членом. При неудачном выборе можно получить расходящийся процесс.

Необходимо решить уравнения: x 3 +x=1000. Априорно известно, что корень находится в границах [9;10].

Найти корень уравнения с точностью =10 -4 .

Начальное решение можно записать в виде:

X=1000-x 3

X=(1000-x) 1/3

Проанализируем полученное уравнение.

Уравнение (а) не подходит, так как |U'(x)|=|-3x 2 |>1.

Для уравнения (б): |U'(x)|=|-1/3*(1000-x) -2/3 |<1

Вычисляем последовательные приближения Xn по формуле Yn=1000-Xn; Xn+1=(Yn) 1/3 (n=0, 1, 2, 3. ).

Найденные значения (вычисленные с одним запасным знаком) приведены в таблице 4.1.

Исходя из того что |X3-X2|< , можно принять, х= 9.96667

4.2. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

4.2.1. Теоретические сведения

Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвест-ными:

или в матричном виде:

AX=b

— столбец свободных членов и столбец неизвестных

Коэффициенты системы (4.6) характеризуются двумя индексами. Первый индекс і — определяет номер сроки, второй -j — номер столбца. Решение системы (4.6) означает нахождение таких значений неизвестных, при подстановке которых в исходную систему любое из уравнений превращается в тождество. Если матрица A неособенная, то

, и система (4.6) имеет единственное решение.

Способы решения систем линейных уравнений (СЛР) в основном делятся на две группы:

1. Точные методы, которые представляют собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и прочие).

2. Итерационные методы, которые дают возможность получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (метод итераций, метод Зейделя, метод релаксации).

2.1 Метод последовательных уступок

Метод последовательных уступок решения многокритериальных задач применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывающей важности [51]. Предположим, что все критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Вначале определяется максимальное значение , первого по важности критерия в области допустимых решений, решив задачу

Читайте так же:
Диаграмма ямазуми в excel

Затем назначается, исходя из практических соображений и принятой точности, величина допустимого отклонения (экономически оправданной уступки) критерия и отыскивается максимальное значение второго критерия при условии, что значение первого должно отклоняться от максимального не более чем на величину допустимой уступки, т.е. решается задача

Снова назначается величина уступки по второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении условного экстремума третьего частного критерия и т.д. Наконец, выявляется экстремальное значение последнего по важности критерия при условии, что значение каждого из первых частных критериев отличается от экстремального не более чем на величину допустимой уступки. Получаемое на последнем этапе решение считается оптимальным.

Существенным недостатком метода последовательных уступок является то, что решение, полученное этим методом, может оказаться неоптимальным по Парето [37].

Рассмотрим пример, математическая модель трехкритериальной задачи имеет вид [51]:

Уступка по первому критерию , а по второму .

Открываем электронную книгу Excel и, как и для решения однокритериальной задачи определяем ячейки под переменные . Для этого в ячейку А2 вводим подпись «Переменные», а соседние три ячейки В2, С2 и D2 вводим значения переменных. Это могут быть произвольные числа, например единицы или нули, далее они будут оптимизироваться.

рис. 2.1. Определение переменных значений

В третьей строке задаем целевые функции. В А3 вводим подпись «Целевые», а в В3 формулой «=2*B2+C2-3*D2» задаем первую целевую функцию . Аналогично в С3 и D3 вводим вторую и третью целевую функцию, вводя в С3 «=B2+3*C2-2*D2», а в D3 «=-B2+2*C2+4*D2».

рис.2.2. Определение целевых значений

Ячейка А5 будем называть «Ограничения».

Левые части ограничений распишем от B5:D7, правые части записываем в диапазон F5:F7. Вводим в Е5 формулу «=B5*$B$2+C5*$C$2+D5*$D$2», номера столбцов и номера строк ряда переменных зафиксировано, далее воспользуемся автозаполнением, чтобы заполнить ячейки Е6 и Е7.

рис.2.3. Определение ограничений

Предварительные действия завершены. Вызываем надстройку «Поиск решения» в меню «Данные».

На первом этапе оптимизируем первую целевую функцию. После открытия окна «Поиск решения» в поле «Оптимизировать целевую функцию» ставим курсор и делаем ссылку на ячейку «В3», щелкая по ней мышью. В окне появится $B$3. В связи с тем, что целевая функция максимизируется, далее нужно проверить, что флажок ниже поля стоит напротив надписи «Максимум».

После ставим курсор в поле «Изменяя ячейки переменных» и обводим ячейки с переменными В2, С2 и D2, выделяя ячейки с переменными. В поле появиться $B$2:$D$2.

В нижней части окна находится поле «Ограничения». Для того, чтобы ввести ограничения, нажимаем кнопку «Добавить», откроется окно «Добавление ограничения». В левом поле «Ссылка на ячейки» вводят ссылку на левую часть первого ограничения — ячейку «Е5», в центральном окне определяем знак «» и в правом «Ограничения» выбираем соответствующую правую часть первого ограничения — «F5». Нажимаем «ОК», видим, что ограничение появилось в окне. Нажимаем вновь «Добавить», вводим «E6» «» и «F6». Вновь нажимаем «Добавить», вводим «E7» «?» и «F7».

Читайте так же:
Заменить несколько значений в excel

Для ввода дополнительных ограничений вновь нажимаем «Добавить», ставим курсор в левое поле и обводим ячейки В2, С2 и D2 (результат $B$2:$D$2) в среднем окне ставим «» и в правом число 0.

рис. 2.4. Параметры поиска решения

Далее выбираем метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». Для запуска вычислений нажимаем кнопку «Найти решение». Появляется надпись, что решение найдено.

Выбираем «Сохранить найденное решение» и «ОК» видим результат. В ячейках В2, С2 и D2 видны значения переменных соответствующие оптимальному решению: 11,2; 6,4 и 0. В ячейки В3 — значение целевой функции 28,8.

рис.2.5. Результат полученного решения

На втором этапе оптимизируется вторая целевая функция. Однако, первую, в соответствие с методом последовательных уступок, можно ухудшить первый критерий на величину не более, чем . По этой причине, на втором шаге, значения в ячейке В3 (где хранится первая целевая функция, которая максимизируется) может быть значение, не меньшее, чем 24,8 (=28,8-4). Для удобства, можно записать «Уступок» в сторонке.

Вызываем надстройку «Поиск решения», видно, что все прежние данные остались введенными. Меняем ссылку на целевую функцию. Ставим курсор в поле «Оптимизировать целевую функцию» и щелкаем по ячейке С3, в которой находится ссылка на вторую целевую функцию. Так, как вторая целевая минимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Минимум». Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по первому критерию. Переводим курсор в поле «Ограничения» и нажимаем кнопку «Добавить», правее поля. В появившемся окне «Добавление ограничения» в трех окнах (слева на право) вводим данные «В3», «?», «С9».

Результат — переменные равны 10,2; 4,4; 0. Вторая целевая функция равна 23,4 (ячейка С3). Первая равна своему минимальному значению 24,8 (ячейка В3).

На третьем этапе делаем уступку по второму критерию. Величина уступки равна . Так, как вторая функция минимизируется, то ее значение не должно превышать 23,4+5=28,4. Вызываем надстройку «Поиск решения». Меняем ссылку на целевую функцию. Ставим курсор в поле «Оптимизировать целевую функцию» и щелкаем по ячейке D3, в которой находится ссылка на третью целевую функцию. Так, как третья целевая максимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Максимум». Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по второму критерию. Переводим курсор в поле «Ограничения» и нажимаем кнопку «Добавить». В появившемся окне «Добавление ограничения», вводим данные «С3», «?», «С10».

рис.2.6. Определение уступка

Результат — переменные равны 10,76; 6,62; 1,11. Целевые функции равны, соответственно, 24,8; 28,4 и 6,93. Это окончательный ответ. Все дополнительные условия соблюдены.

Читайте так же:
Как восстановить ссылки в яндекс браузере

Рис. 2.7. Окончательный результат решения по методу последовательного уступка

Метод последовательных приближений .

Запишем уравнение (3) ,с учетом уравнения (7). и сделанного примечания .

— относительная масса , где

m – текущая масса ;

m –стартовая масса .

— идеальное время полета , это когда вся ракета представляет собой топливо и в конце полета вся сгорает .

Поделим левую и правую часть уравнения 3 на массу m

Для решения необходимо сделать это уравнение с разделенными переменными

Рекомендуемые файлы

— эффективная скорость истечения продуктов сгорания из сопла двигателя в пустоте . Она всегда больше истинной или реальной .

— эффективная скорость истечения продуктов сгорания из сопла двигателя на Земле.

Она равна истинной , когда раз .

-стартовая нагрузка на мидель ракеты , величина постоянная для данной ракеты ,

— скоростной напор .

Таким образом уравнение (3) будет иметь следующий вид :

Полученное уравнение (*) решается методом последовательных приближений . В первом приближении учитываются только первые два слагаемых , двумя последними принебрегаем . Проинтегрируем уравнение (*)

— первый интеграл Королева ;

— скорость ракеты в первом приближении .

В первом приближении определяем только высоту полета . Для этого запишем уравнение 2 .

— высота полета в первом приближении .

Таким образом скорость полета ракеты в первом приближении равна идеальной скорости минус потери скорости на преодоление силы тяжести .

При вычислении скорости во втором приближении необходимо учитывать влияние атмосферы и противодавление на срезе сопла двигателя .

Тогда формула (*) будет иметь вид :

После интегрирования уравнения (**) получаем :

, где

Посчитанный q близок к истинному q на траектории полета ракеты ,т.к. он определяется по завышенной скорости и заниженной плотности .

Для реальных скоростей этот промежуток (0.8. 2.0) небольшой по времени, а значит, принимая величину Сх мы не делаем грубых ошибок.

— эта величина в общем случае занижена , т.к. определяется по завышенной высоте .

Но сама величина третьего интеграла незначительна , поэтому эта неточность не оказывает существенного влияния на величину скорости .

— второй интеграл Королева .

— третий интеграл Королева .

Таким образом получается :

— формула скорости ракеты во втором и окончательном приближении .

Решение задач в Excel с помощью средств «Поиск решения» и «Подбор параметра»

Excel имеет большие возможности для работы с различными математическими средствами, позволяющими решать самые разнообразные инженерно-технические и научные задачи. Большинство из них не входят в базовый набор функций Excel, а подключаются дополнительно. Подключение осуществляется через кнопку Officeв меню кнопки Параметры Excel → Настройки. Выберите из меню строки Управление (нижний правый угол окна) Надстройки Excelи нажмите кнопку Перейти. В открывшемся окне выберите необходимые надстройки.

Основные надстройки, поставляемые вместе с пакетом Excel:

Пакет анализа. Мощный инструмент обработки статистических данных, обеспечивающий дополнительные возможности для анализа.

Читайте так же:
Как в ворде восстановить предыдущую версию документа

Мастер суммирования. Позволяет автоматизировать создание формул для суммирования данных в столбце таблицы и использовать частичные суммы.

Мастер подстановок. Автоматизирует создание формулы для поиска данных в таблице по названию столбца и строки и позволяет использовать поиск с параметром.

Поиск решения. Используется для решения уравнений и задач оптимизации.

Средство Поиск решения.Запускается командой Данные → Анализ → Поиск решения. Элементы диалогового окна:

установить целевую ячейку –адрес ячейки с целевой функцией;

равной – значение, к которому стремиться целевая функция;

изменяя ячейки –адреса влияющих ячеек;

параметры –открывает окно для задания ограничений на значения влияющих ячеек.

Средство Подбор параметра.Запускается командой Данные → Работа с даннымиАнализ «что-если» → Подбор параметра.

Задание 5.12. Решить систему нелинейных уравнений с помощью средства Поиск решения.

(1)

Выполнение.

В основу метода решения системы нелинейных уравнений положено то, что геометрически решения системы (1) описывают точки пересечения прямой ( ) с окружностью ( ) радиуса равному . Решения заданной системы удовлетворяют и следующему уравнению:

(2)

Вместо системы (1) будем решать уравнение (2). Решений будет два.

Чтобы применить метод Поиск решения необходимо, предварительно, найти начальное приближение решений. Для этого построим таблицу значений левой части уравнения (2) по переменным х и у на интервале (– 1.7; +1.7) с шагом 0.3. Границы интервала взяты на основании того, что корни уравнения лежат внутри круга, радиус которого приблизительно равен =1.73.

Для построения таблицы выполняем:

1. В ячейки А2:А14 вводим значения х (в интервале [–1.7, 1.7]), а в ячейки В1:N1 – значения y в таком же интервале.

2. В ячейку В2 вводится формула =($A2^2+B$1^2-3)^2+(2*$A2+3*B$1-1)^2 –уравнение (2).

3. Копируем формулу ячейки B2 вдиапозон B2:N14.

В соответствии с формулой (2) за начальные значения х и y берутся значения в тех ячейках заполненного диапазона, где функция принимает наименьшие значения. Под значения первого корня отводим ячейки А16:В16, а А17:В17 – под значения второго корня.

Для системы (1), в соответствии с полученной таблицей первое минимальное значение 0,4325. В ячейку А16мы вводим 1.3 – значение x, в В16 – 1.4 – значение y. В ячейку С16 вводим формулу =(А16^2+В16^2-3)^2+(2*A16+3*B16-1)^2.

Открываем окно Поиска решенийи устанавливаем: Целевая ячейка$C16; Изменяя ячейки$A16:$B16; установить параметр – Минимальному значению. Нажимаем кнопку Выполнить.

Значение корней уравнения появятся в ячейках А16 и В16. Второй корень находим аналогично, взяв следующее наименьшее значение 0,08.

Задание 5.13. Найти корни кубического уравнения (полинома) с одним неизвестным с помощью средства Подбор параметра.

Выполнение.

Сначала находим интервалы, на которых существуют корни полинома. Такими интервалами, являются промежутки, на концах которых функция меняет знак. С этой целью построим таблицу значений полинома на интервале (-1,1) с шагом 0.2 и построим график. Для этого:

Читайте так же:
Можно ли восстановить удаленную страницу в инстаграме

1. Введем в ячейку A2 значение –1 , а в A3 – значение: – 0.8.

2. Используя маркер заполнения, заполним ячейки до А12.

3. В ячейку B2 вводим формулу: = A2^3 – 0,01*A2^2 – 0,7044*A2 + 0,139104.

4. Заполняем диапазон B3:B12.

5. По полученным значениям строим график заданного полинома.

Мы увидим, что для нашего случая полином меняет знак на интервалах [-1,-0.8], [0.2, 0.4] и [0.6, 0.8], т.е. пересекается с осью x. Интервалов три – столько корней имеет уравнение третьей степени. Корни локализованы.

Теперь зададим точность нахождения значений корней. На вкладке Office → Параметры Excel → Формулы → Параметры вычислений задаем относительную погрешность 0,00001 и предельное число итераций 1000 (число последовательных приближений).

Отводим на новом рабочем листе ячейку С2 под первый корень, соответственно ячейки C3 и C4 под второй и третий корни полинома.

Корни будем находим методом последовательных приближений. Поэтому в ячейку С2 вводим сначала значение, являющееся первым приближением к искомому корню. В нашем случае возьмем первый отрезок и в нем среднее значение, т.е. – 0,9. Соответственно в ячейки С3 и С4 вводим приближенные значения для второго и третьего корней: +0,3 и +0,7.

Для нахождения корня с помощью Подбора параметра уравнение надо представить в таком виде, чтобы его правая часть не содержала переменную. В нашем примере этого не требуется. Отводим ячейку D2 под функцию, для которой ведется поиск первого корня. Причем вместо неизвестной x у этой функции должна указываться ссылка на ячейку, отведенную под искомый корень. Таким образом, в ячейку D2вводится формула:

= C2^3 – 0,01*C2^2 – 0,7044*C2 + 0.139104.

Копируем эту формулу в ячейки D3 и D4 для второго и третьего корней полинома. С помощью инструмента Подбор параметранаходим первый корень:

1. Выбираем команду Данные → Работа с даннымиАнализ «что-если» → Подбор параметра. На экране появится диалоговое окно.

2. В поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку D2, в которой введена формула, вычисляющая значение левой части полинома.

3. В поле Значение вводим – значение из правой части уравнения.

4. В поле Изменяя значение ячейки введем С2 –ссылка на ячейку, отведенную под первый корень.

5. Нажимаем ОК.

Получим окно с результатами:

Закрыв окно, найденное приближенное значение корня помещается в ячейку D2. В данном случае оно равно –0,92034.

Аналогично, повторив действия 1–5 для каждого из оставшихся корней, в ячейках D3 и D4 находим их значения. Соответственно, они равны 0,21021 и 0,72071.

Дата добавления: 2016-09-26 ; просмотров: 7748 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector