Svinkovod.ru

Бытовая техника
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Метод Гаусса онлайн

Метод Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

  • перемена местами двух уравнений в системе,
  • умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
  • прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b(2)
(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

(4)

Предположим a11≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a11. Для этого сложим строки 2,3, . m со строкой 1, умноженной на −a21/a11, −a31/a11, . −am1/a11, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:

(5)

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a22. Для этого сложим строки 3, . m со строкой 2, умноженной на −a32/a22, . −am2/a22, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

(6)

Обратим внимание на последние строки. Если . равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть . Тогда

(7)

Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем xp через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем xp−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Из вышеизложенной таблицы можно записать:

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

,,.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Выразим переменные x1, x2 относительно остальных переменных.

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Тогда векторное решение можно представить так:

где x3, x4− произвольные действительные числа.

Метод гаусса можно ли менять строки местами

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

Читайте так же:
Можно ли вдыхать гелий из шарика детям

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: . Поскольку A -1 A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А -1 .

Из уравнения получаем .

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Итак, х=1, у=2, z=3.

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

  1. При
  2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
  3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Метод гаусса можно ли менять строки местами

НИУ ВШЭ

Количество зарегистрированных учащихся: 33 тыс.

Это стандартный курс линейной алгебры, содержащий все необходимые для статистики и многомерного анализа приложения и алгоритмы, но не всегда содержащий подробные доказательства. Данный курс пригодится вам для того, чтобы изучить азы линейной алгебры и ознакомиться с базовыми определениями, понятиями и алгоритмами, научиться решать задачи, в которых необходим данный инструментарий. Многие пространственные задачи требуют знания линейной алгебры, а так же ряд задач экономики находит более простое решение, если владеть механизмами решения таких задач; эта наука находит себе применение во всех направлениях математики и ее приложениях, которые только можно представить. После прохождения данного курса вы научитесь корректно использовать понятия вектора, базиса, линейного пространства и линейной зависимости, оператора и матрицы, а так же овладеете несложными инструментами для решения и анализа задач линейной алгебры, научитесь оперировать матрицами и находить максимально подходящие условия для поиска ответа; ознакомитесь с классическими теоремами и узнаете красивые задачи данной науки, а также научитесь проверять свои решения на корректность, а результаты на адекватность, а еще мы обсудим теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете. Внимательно смотрите лекции и вовремя выполняйте все необходимые задания. Удачи! Появились технические трудности? Обращайтесь на адрес: coursera@hse.ru

Читайте так же:
Можно ли восстановить удаленные фотографии вконтакте

Рецензии

Отличный курс! Лекции понятны, задания не дают расслабиться, но четко направленные на закрепление теории.

Прекрасное изложение основ линейной алгебры, отлично описаны сложные вещи доступным языком.

Системы линейных уравнений

Эти лекции дадут нам понять, как привычные нам системы линейных уравнений с многими неизвестными связаны с пространством, функциями в нем и разными фигурам, а так же обсудим разные методы решения таких систем.

Преподаватели

Placeholder

Irina Khovanskaya

Senior Research Fellow, Lecturer

Текст видео

[ЗАСТАВКА] На самом деле то, что мы обсудили, это и есть метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Ну просто он обычно формулируется в других терминах. И сейчас мы эти термины введем и опишем метод Гаусса при помощи матриц, матрицы системы уравнений, расширенной матрицы системы уравнений. Обсудим, что нужно сделать с матрицами, чтобы решить систему линейных уравнений. Матрицей системы линейных уравнений называется некоторая таблица. В таблицу мы вписываем коэффициенты системы линейных уравнений. Если у нас первая переменная x, то в первом столбце матрицы будут содержаться все коэффициенты, с которыми входит переменная x в уравнение — в первой строке из первого уравнения, во второй строке из второго уравнения и так далее. Так про каждую переменную все коэффициенты… Для каждой переменной, для каждой неизвестной, все коэффициенты будут записаны в матрицу. То, что стоит в уравнении в правой части, свободные члены, будут записаны после черты, будет столбец свободных членов. Такая матрица, в которой записан столбец свободных членов будет называться «расширенной матрицей системы линейных уравнений». Если мы не будем писать столбец свободных членов, то то, что получится, будет просто матрица системы, нерасширенная матрица системы. Для того чтобы написать матрицу системы линейных уравнений нужно систему линейных уравнений привести в некоторый порядок. Когда мы пишем линейное уравнение, у нас свободный член может быть или слева, или справа, переменные в разных уравнениях могут идти в разном порядке, могут быть несколько запутанные уравнения, могут быть еще не приведены подобные члены, могут стоять какие-то скобки. Для того чтобы записать матрицу системы, система должна быть записана в порядке — сначала идут… В каждом уравнении сначала идет первая переменная со своим коэффициентом, потом вторая переменная со своим коэффициентом и так далее. И справа стоит только свободный член, никаких переменных справа нет. Здесь приведен пример, как мы запутанную систему линейных уравнений, здесь нет никакой нелинейности, она была записана беспорядочно, а мы привели ее в порядок. Сначала написали все члены содержащие x, потом, в каждом уравнении, потом содержащие y, потом содержащие z, справа написали свободный коэффициент. После этого уже можно написать матрицу системы, после этого видны строки, видны столбцы, виден столбец свободных членов. Хорошо говорить про матрицу системы, приведенной в порядок, когда мы просто записываем матрицу системы и ничего не хотим делать, а мы хотим делать. Мы хотим решать систему уравнений. Когда мы решали систему уравнений, мы выражали одну переменную через другую, переносили что-то в другую часть, умножали на какие-то коэффициенты, вычитали, складывали, раскрывали скобки. Конечно, система получится не такого вида, как мы хотели. Матрица испортится, не получится. Теперь мы не сможем записать никакую матрицу. Давайте попробуем посмотреть на выражение одной переменной через другую по-другому. Давайте сделаем вот что. Смотрите… Давайте вместо того, чтобы выражать x через y для этой системы, мы просто вычтем из второй строчки первую. Я хочу сказать, что мы получим то же самое уравнение, что и подставив выражение для x во вторую строчку. И действительно, вычитая из второй строчки первую, мы достигли такого же результата, как и подставляя — мы получили более простое уравнение. Действительно, посмотрите, у нас во втором уравнении участвует только y. Мы избавились от x ничего не подставляя, а просто вычитая первую строчку. На самом деле мы конечно провели ту же самую операцию. А что произошло при этом с матрицей? Что произошло с матрицей системы, когда мы вычитали из второго уравнения системы первую строчку? Посмотрите, с матрицей произошло точно то же самое. При этом мы из второй строчки матрицы вычли первую строчку и получили новую матрицу, у которой во второй строчке на первом месте, на второй строчке на том месте, которое соответствует коэффициенту при неизвестной x, мы получили ноль. Таким образом, вторая строчка сейчас соответствует тому простому уравнению, которое мы получили на прошлом слайде, – 2y = – 8. Действительно, смотрите, из и матрица, и система, преобразовывались по одному и тому же закону. Когда мы вычитаем из одного уравнения другое, мы приводим подобные члены, то есть мы из коэффициента при x вычитаем, второго уравнения, вычитаем коэффициент при x первого уравнения, из коэффициента при y второго уравнения вычитаем коэффициент при y первого уравнения, из свободного члена вычитаем свободный член, но это то же самое, что из строчки матрицы вычесть строчку матрицы. Мы проделали одну и ту же операцию и получили систему, получили систему уравнений, получили новую матрицу — это как раз получилась матрица, соответствующая вот этой новой, более простой системе. Всегда ли так будет или нам повезло случайно? На первый взгляд кажется, что нам повезло случайно. Ну не могли мы убить x, вычитая первое уравнение из всех последующиx, если, например, в каком-нибудь уравнении содержалось не x, а 2x. Если в первом уравнении было x, а во втором 2x — ничего не получим, мы ничего хорошего не получим, вычитая из второго уравнения первое. Правильно. Поэтому из второго уравнения нужно вычитать не просто первое уравнение, а первое уравнение, умноженное на такой коэффициент, который и нужен, чтобы сократилось x во втором уравнении. Посмотрите на наш пример. Здесь в первом уравнении x идет с коэффициентом единица, а во втором уравнении содержится 2x. Поэтому мы вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на два. И таким образом x во втором уравнении сократится, и мы снова получим более простую систему — систему не содержащую x. Фактически второй уравнение будет уравнением относительно y, такие уравнения мы умеем решать. Что происходит с матрицей. В первом столбце на первом месте стоит 1. В первом столбце на втором месте стоит 2. Мы хотим что сделать? Мы хотим из второй строчки вычесть первую строчку, умноженную на такое число, чтобы на первом месте второй строчки теперь не стояла 2, а стоял 0. Для этого действительно нам нужно первую строчку умножить на 2 и после этого вычесть ее из второй строчки. Когда мы вычтем, когда мы проведем эту процедуру, мы получим ту же самую матрицу, мы получим ту же самую матрицу соответствующую тому уравнению, которое мы получили на предыдущем слайде, вычитая из второго уравнения первое уравнение, умноженное на 2. Может быть, все-таки все равно содержалось некоторое везение? Смотрите. Ведь мы исходим из того, что в первом уравнении при неизвестной x стоит коэффициент 1. Но это могло быть не так. В первом уравнении при неизвестной x могла быть 2, 3, 5, какое угодно число и тогда, вычитая первую строчку, мы бы только испортили остальные уравнения. Ну здесь опять же нет ничего сложного. Давайте первое уравнение — прежде, чем что бы то ни было делать, — давайте первое уравнение умножим на то число, которое нужно, чтобы коэффициент при неизвестном x стал бы 1. Если было 2x, давайте умножим уравнение на ½ — это получится то же самое уравнение, просто коэффициенты изменятся, решения уравнения будут те же самые, но на первом месте будет стоять переменная x с коэффициентом 1. Что происходит с матрицей, когда мы это, когда мы так действуем. Смотрите. На первом месте первой строчки стояло число 2. Нам так трудно. Нам этой 2 трудно сократить все члены стоящие, все элементы матрицы, стоящие под двойкой. Мы умножим первую строчку матрицы на ½. Первая строчка матрицы изменится, все коэффициенты, все ее элементы умножатся на ½. Это будет соответствовать тому, что мы всё уравнение умножили на ½. Уравнение осталось тем же, просто изменились коэффициенты. После этого первую строчку можно вычитать из второй, если есть третья, из третьей, первую строчку можно вычитать из других строчек. Можно умножать ее, при этом на то число, которое нам нужно. Давайте проследим еще раз, что же именно мы сделали. И будем следить параллельно, что мы делали с системой уравнений, и что мы сделали с матрицей этой системы. Ну, во-первых, мы записали матрицу системы, привели систему линейных уравнений в некоторый порядок. После этого мы поменяли местами уравнения в системе так, чтобы первое уравнение содержало ту переменную, которую мы хотим считать первой. Что мы сделали с матрицей? Мы поменяли строчки матрицы местами так, чтобы на первом месте оказалась строчка, содержащая первый элемент, который не равен 0. Потом мы умножили первое уравнение на какое-то такое число, чтобы коэффициент при первой переменной стал равен 1. Что мы сделали с матрицей? Мы умножили первую строчку матрицы на такое число, чтобы первый элемент этой строчки стал единичным. Смотрите. Здесь важно, что это не 0. Мы не можем умножить 0 ни на какое число, чтобы он превратился от умножения в 1. 0 на что ни умножай, всё время получится 0. Если бы не нулевое число, а мы об этом позаботились на предыдущем шаге, когда переставляли строчки, переставляли уравнения в системе, теперь после этого мы можем умножить первую строчку матрицы на какое-то число так, чтобы на первом месте в этой строчке стояла 1. Теперь мы можем из каждого следующего уравнения системы, из второго, третьего, пятого, десятого, я не знаю, сколько у нас уравнений в системе, в зависимости от этого, вычесть первое уравнение, умноженное на такое число, чтобы первая переменная исчезла во всех этих остальных уравнениях. Что мы делаем с матрицей? Мы из всех строчек матрицы, кроме первой, первую пропускаем, берем следующую строчку, вторую, вычитаем из нее первую строчку, умноженную на такой коэффициент, чтобы первый элемент второй строчки стал нулевым. Потом то же самое проделываем с третьей строчкой — из третьей строчки матрицы вычитаем первую строчку, умноженную на такой коэффициент, чтобы в третьей строчке первый элемент снова тоже стал 0. Вот смотрите, что мы делаем с системой. Написано, система уравнения. Она начинается с 2x. В первом уравнении содержится 2x. Первым делом мы первое уравнение делим на 2, после этого мы получили уравнение x + что-то (остальные коэффициенты немножко испортились, они стали содержать дроби). Тем не менее, первое уравнение второй системы и первое уравнение первой системы, это одно и то же, они получаются друг из друга умножением и делением на 2, система получилась та же самая, решение этих двух систем совпадает, мы можем действовать дальше. Дальше из второго уравнения системы мы вычитаем первое уравнение системы, чтобы сократился x и из третьего уравнения системы тоже вычитаем первое, умноженное на коэффициент, чтобы в третьем уравнении тоже больше не было x. Вот мы получили такую систему. В первом уравнении есть, присутствуют x, y и z, а второе и третье уравнения содержат только y и z. Наша система как бы разделилась на две части — первая часть содержит x, а дальше идет система из двух уравнений с двумя неизвестными, y и z, никакого x в них не содержится. Что произошло с матрицами, когда мы так поступали? Во-первых, мы записали матрицу системы. После этого мы умножили первую строчку матрицы на некоторое число (это некоторое число в данном случае равно ½) так, чтобы на первом месте в первой строчке стояла 1. Теперь у нас первая строчка начинается с коэффициента 1. Теперь мы вычли первую строчку матрицы из второй строчки матрицы. Теперь на первом месте стоит 0, а во второй строчке содержатся тоже дробные числа, как и в первой строке. Теперь нам нужно убить вот эту 3, которая стоит на первом месте третьей строки. Мы вычтем из третьей строки первую строчку, умноженную на 3. Когда мы действовали с системой, мы действовали точно так же. У нас был 3x, и мы вычли из третьего уравнения трижды первое уравнение. И сейчас мы вычитаем из третьей строчки матрицы трижды первую строчку матрицы. И мы снова оказались в ситуации, похожей с ситуацией с системой. Смотрите. Какая получилась матрица? Эта матрица содержит первую строчку из трех элементов. Хорошо. Дальше. Первый столбец содержит два нулевых элемента. Мы видим, что выделяется маленькая квадратная матрица, 2 на 2, справа под первой строкой. Ну и есть еще столбец свободных членов, мы с ним действовали, ну так же, как действовали со всей остальной матрицей, так же мы действовали со столбцом свободных коэффициентов. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]

Читайте так же:
Можно ли вместо hdd поставить ssd

Open Library — открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Математика Системы линейных уравнений

Рассмотрим три базовых метода решения систем линœейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Заметим, что метод Крамера и матричный могут применяться только для невырожденных систем, т. е. систем с определителœем, неравным нулю. При этом система имеет единственное решение. Метод Гаусса более универсальный и позволяет решать как определœенные системы (имеющие единственное решение), так и неопределœенные системы, имеющие множество решений. Применяя преобразования метода Гаусса, можно ответить на вопрос совместна ли система или вообще не имеет решений, найти ранг матрицы.

Пример 1.6. Решение системы методом Крамера.

Строим матрицу системы, вычисляем её определитель:

∆ = = 45 + 1 + 12 – (–9 + (–6) + 10) = 63.

Построим определитель∆1 заменой 1-го столбца на столбец правых частей и вычислим:

1 = = 18 + (–5) + 24 – (45 + (–12) + 4) = 0, тогда переменная х находится по формуле х== = 0.

Найдем ∆2 заменой 2-го столбца на столбец правых частей:

2== 60 + (–2) + 30 – (– 12 + 12 + 25) = 63,

тогда переменная y находится по формуле y = = 1.

Найдем ∆3 заменой 3-го столбца на столбец правых частей:

тогда переменная z находится по формуле z= = –1.

Ответ: (x, y, z) = (0, 1, –1)

Пример 1.7. Решение системы методом Гаусса.

Построим по данной системе расширенную матрицу системы .

Её крайне важно с помощью элементарных преобразований привести к треугольному виду . Ниже главной диагонали должны быть нули.

Разрешены следующие элементарные преобразования, не меняющие пространства решений системы:

§ можно менять местами строки;

§ умножать строку на ненулевое число;

Читайте так же:
Мин значение в excel

§ складывать или вычитать любые две строки, умноженные на любое число;

§ вычеркивать нулевые или пропорциональные строки.

В случае если в столбце есть 1, удобно переставить строки, поставив 1 на первое место. Умножим первую на 2, вычтем из второй:

Разделим 2-ю строку на 7, переставим с 3-й, первую умножим на 5, вычтем из второй, получаем:

Разделим 3-ю строку на 9 и вычтем 2-ю, имеем . Эта матрица приведена к треугольному виду. Первый этап закончен.

Построим теперь по ней систему уравнений: .

Приступаем ко второму этапу – обратный ход метода Гаусса. Находим из последнего уравнения z = –1; поднимаясь во второе и подставляя найденное z, находим y = 1; затем из первого находим х = 0. Итак, (x, y, z) = (0, 1, –1).

1.9. Определить ранг матрицы В (табл. 1.5).

Матрица В2 5 6 4 –1 5 2 –6 –11 2 1 4 0 5–1 4 –1 3 4 61 3 7 2 5 –1 0 4 8 3 3 6 10 –4 72 0 3 5 1 4 3 1 7 5 0 3 –5 –3 3 2 3 –2 2 4

Замечание. Для вычисления ранга матрицы удобно привести ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. Количество ненулевых строк, оставшихся после приведения, равно рангу матрицы.

1.10. Решить систему уравнений различными методами. В таблице 1.6 указаны матрица системы А и столбец правых частей В.

1.11. Исследовать систему на совместность и в случае совместности методом Гаусса найти общее решение, указать хотя бы одно базисное решение:

1.1.5. Построение моделœей задач, сводящихся к системам линœейных уравнений

Пример 1.8. Отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Тот ответил, что удвоенный возраст старшего сына на 18 лет превышает сумму возрастов обоих сыновей, а возраст младшего на 6 лет меньше разности их возрастов. Сколько лет каждому сыну?

Решение. Построим математическую модель задачи как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть х – возраст младшего сына, а у – возраст старшего сына. Имеем:

Ответ. Младшему сыну 12 лет, а старшему 30 лет.

1.12. Построить модели к старинным математическим задачам в виде системы уравнений и решить их.

1) В семье были и сыновья и дочери. Каждый сын имел столько братьев, сколько сестер, а каждая сестра имела в два раза больше братьев, чем сестер. Сколько сыновей и сколько дочерей имела эта семья?

Читайте так же:
Как в ворде сделать видимые поля

2) Три цыпленка и одна утка проданы за ту же сумму, что и два гуся, а еще один цыпленок, две утки и три гуся проданы вместе за 25 долларов. Сколько стоит каждая птица, если цены выражаются целым числом долларов?

3) Некто купил 30 птиц за 30 монет. За каждых трех воробьев – 1 монета͵ за 2 горлицы – 1 монета͵ за 1 голубя – 2 монеты. Всего было куплено 30 птиц за 30 рублей. Сколько было птиц каждой породы?

4) Торговец скотом купил неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ количество лошадей по 344 доллара и неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ количество волов по 265 долларов. Он обнаружил, что всœе лошади обошлись ему на 33 доллара дороже, чем волы. Какое наименьшее количество лошадей и волов он мог купить при этих условиях?

5) Девять мальчиков и три девочки решили разделить поровну свои карманные деньги. Каждый мальчик передал одинаковую сумму каждой девочке, а каждая из девочек отдала также одинаковую (но другую) сумму каждому мальчику. У всœех детей после этого денег стало поровну. Какова та наименьшая сумма, которая могла быть первоначально у каждого из них?

6) Одному человеку не без труда удалось уговорить Вилли-Лежебоку взяться за работу. Вилли должен был работать в течение 30 дней, получая по 8 долларов в день при условии, что за каждый день прогула он платит штраф 10 долларов. В конце месяца выяснилось, что никто никому не должен ни цента. Это обстоятельство окончательно убедило Вилли в том, что «работа дураков любит». Можете ли Вы сказать, сколько дней он работал, а сколько прогулял?

7) Фермер купил на рынке 100 голов скота на общую сумму 1000 долларов. Одна корова стоила 50 долларов, одна овца – 10 долларов и один кролик – 50 центов. Сколько денег израсходовал фермер на покупку коров, овец и кроликов в отдельности?

8) Когда одного мальчика спросили, сколько лет ему и его сестре, он ответил:

–Три года назад я был в 7 раз старше сестры, два года назад – в 4 раза, в прошлом году – в 3 раза, а в этом году я в 2,5 раза старше ее. Сколько лет мальчику и его сестре?

1.1.6. Применение элементов линœейной алгебры в экономике

Математические модели некоторых экономических задач бывают записаны в виде систем линœейных уравнений или матричных уравнений и решаться методами линœейной алгебры и матричного анализа. Рассмотрим примеры таких задач [3, с. 107].

1.13. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок ; при этом используется сырье трёх типов: S1 , S2 , S3 . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей 1.7. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Вид сырьяНорма расхода сырья на одну паруРасход сырья
СапогиКроссовкиБотинки
S1
S2
S3

1.14. С двух фабрик поставляются меховые шкурки для двух ателье, потребности которых соответственно 200 и 300 шкурок. Первая фабрика выпустила 350 шкурок, а вторая – 150 . Известны затраты на перевозку меха с фабрики в каждое ателье (табл. 1.8). Суммарные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед.

ФабрикаЗатраты на перевозку в ателье, ден.ед.

Найти план перевозок меха.

Читайте также

Система m линейных уравнений с n переменными в общем виде записывается следующим образом: где xj – переменные, aij, bi – константы, . При этом величины aij (те константы, которые умножаются на переменные) принято называть коэффициентами при переменных, а правые части. [читать подробенее]

Система линейных уравнений имеет вид: a11 x1 + a12 x2 +. + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +. + a2n xn = b2, (5.1) ………………………………… am1 x1 + am1 x2 +. + amn xn = bm. Здесь и (i =; j = ) — заданные, а — неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде: AX = B. [читать подробенее]

Пусть имеем матрицу . Рассматривая элементы каждой строки как координаты мерных векторов соответственно, матрицу можно записать в виде матрицы-столбца . Наибольшее число линейно независимых векторов во множестве <> называют строчным рангом матрицы . Если же в матрице. [читать подробенее]

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности &. [читать подробенее]

Лекция № 6 Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц и их свойства. Собственные числа матрицы. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из строк и столбцов, называют матрицей порядка (на ) и обозначают. [читать подробенее]

Решить систему уравнений: (4.16) Заданная точность &. [читать подробенее]

Пусть D- главный определитель матрицы коэффициентов системы уравнений, — частный определитель, образованный заменой коэффициентов при — м неизвестном системы уравнений на коэффициенты правых частей уравнений (свободных членов). Тогда неизвестное вычисляется по. [читать подробенее]

Задача.Решить систему уравнений с двумя неизвестными матричным способом, с помощью обратной матрицы, методом Крамера, графическим способом. По результатам решения системы уравнений графическим способом вычислить вектор невязки и норму вектора невязки. Найти вектор. [читать подробенее]

Пример 11.18. Найти ранг матрицы А. . Т. 11.19. Теорема Кронер-Капелли: Система линейных уравнений совместна , когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы. Доказательство: Пусть . Пусть эта система совместна. — решение. , . Пусть . тогда в А МЛНП. [читать подробенее]

Однородная система линейных уравнений имеет вид , (1) где A – матрица коэффициентов; X – матрица-столбец, составленная из неизвестных. Очевидно, что любая однородная система имеет нулевое решение , которое называется тривиальным решением. Теорема. [читать подробенее]

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector