Двое играют в следующую игру

Двое играют в следующую игру

Олимпиадная математика с юмором!

Авторы канала:
Петров Сергей — @Chuckchaness
Жуковский Никита — @Geom_man

About

Platform

480. Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на 2, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на 3 — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, … , делится на 9, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.

​​481. Полина и Шахноза ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиганка Полина сорвала с Шахнозы шапку и бросила её на встречный эскалатор. Пострадавшая Шахноза побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрая Полина побежала по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Шахнозы. Кто успеет раньше, если скорости девочек одинаковые и постоянны относительно эскалатора (и хотя бы в два раза больше скорости эскалатора)?

​​482. Каждому из двух мудрецов сообщили по натуральному числу, причём им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: «Известно ли тебе моё число?» Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит «да».

​​483. Международная комиссия состоит из 9 человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее 6 членов комиссии? (любые шесть человек должны открывать сейф, никакие 5 не должны)

​​484. Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?

​​485. На столе 20×20 разбросано 96 салфеток 1×1 со сторонам, параллельными краям стола. Докажите, что можно положить еще одну такую салфетку, не пересекающуюся с уже лежащими (по положительной мере).

486. Множество А натуральных чисел таково, что для любого натурального n среди чисел n, 2n, 3n в А лежит ровно одно из них. Известно, что в А лежит двойка. Петя утверждает, что в А лежит 13824, прав ли он?

​​487. Два бога по очереди выписывают цифры бесконечной десятичной дроби. Первый своим ходом приписывает в хвост любое конечное число цифр, второй — одну. Они успевают сделать все ходы (то есть, бесконечно много) за час. Если в итоге получится периодическая дробь (без предпериода), выигрывает первый, иначе — второй. Кто из них может выиграть, как бы ни играл соперник?

​​488. Докажите, что число (a+b)(b+c)(a+c), где a, b, c — попарно различные натуральные числа, не может быть степенью двойки.

​​489. В ряд выложено 5 карточек. На оборотной стороне каждой написано вещественное число. Про любые две карточки можно узнать (а) сумму; (б) произведение чисел на них. (в) Всегда ли можно определить, какие числа написаны на карточках? (г) Можно ли хоть в одном случае определить, какие числа написаны на карточках?

​​490. На луче из клеток есть ладья и король. София играет за ладью, Софья — за короля, ходят по очереди, ладья не видит короля. Ладья ест короля, если она оказывается с ним на одной клетке. Сможет ли София съесть Софью?

​​491. Вожатые заказали большую пиццу на полдник школьникам из 7Б. Они забыли сколько школьников осталось в группе (17 или 18), но хотят заранее разрезать пиццу на куски, чтобы получилось всем гарантированно раздать поровну (всю пиццу надо раздать). Каким наименьшим количеством кусков можно обойтись?

​​492. Докажите, что найдутся миллион идущих подряд натуральных чисел, среди которых ровно тысяча простых.

​​493. Петя написал на доске натуральное число, а потом стер последнюю цифру и написал ее чуть выше, в показателе степени. Оказалось, что результат делится на первое написанное число. Какое максимальное число мог написать на доске Петя?

​​494. В центре круглого бассейна плавает Аня. Внезапно к бассейну подошёл учитель по французскому. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем Аня плавает. Аня бегает быстрее. Сможет ли она убежать?

​​495. У каждого из жителей некоего города есть три знакомых жителя, причём с одним из них он активно общается каждое утро, с другим — каждый полдень, с третьим — каждый вечер. Петя с Васей поссорились и прекратили общаться. Петя заразился вирусом. Докажите, что Вася тоже вскоре заразится.

​​496. Дана возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел. Известно, что у каждого числа ровно два различных простых делителя, причем для всех членов прогрессии эта пара одна и та же. Каково наибольшее возможное количество членов в такой прогрессии?

​​497. Ежик стоит в левой нижней клетке поля 8×8. А в какой-то другой клетке пасется Лошадка. На поле стоит туман, ничего не видно, но ежику надо найти Лошадку. Лошадка каждую минуту переходит на соседнюю по стороне клетку и громко говорит, куда она перешла (влево, вправо, вверх или вниз). Ежик тоже может сделать шаг в одну из соседних по стороне или диагонали клеток, как только услышит Лошадку. Ежик найдет Лошадку, если окажется с ней на одной клетке. Что же делать Ежику?

​​Бот от админа, который отгадывает ваше четырехзначное число (все цифры различны) в игре "Быки и Коровы" за (максимум) шесть ходов!

​​498. Дано вещественное число p из отрезка [0;1]. С помощью симметричной монетки реализовать вероятность p.

Двое играют в следующую игру

Задача 1: Найдите выигрышную стратегию для первого игрока в игре «щёлк» на шоколадке 2 × 100.

Решение: Выигрышные позиции – шоколадки, со столбцами длинами n + 1 и n.

Задача 2: Проанализируйте игру «щёлк» на огрызке шоколадки из трёх строчек: 2, n и n + 2 дольки. а) Кто выигрывает при n = 2,3,4,5 б) n – произвольное.

Задача 3: Игра в «двойные шахматы» ведется также, как и в обычные, только игроки делают по 2 хода за раз. Докажите, что в этой игре у второго игрока не может быть выигрышной стратегии.

Решение: Передача хода – ход конём туда-обратно, в результате чего позиция не изменится. Знатоки шахматных правил могут заметить, что на самом деле ситуация в игре всё же не вполне симметрична, так как есть, наример, правило троекратного повторения позиции (и правило 50 ходов). Полезно подумать, как можно ответить на эти возражения.

Задача 4: Докажите, что в игре «щёлк» у первого игрока есть выигрышная стратегия на любой прямоугольной шоколадке, в которой больше одной дольки (предъявлять стратегию не обязательно).

Решение: Вничью игра закончиться не может. Предположим, что выигрышная стратегия есть у второго игрока. Долька, находящаяся в правом верхнем углу съедена в любом случае после первого хода. Если у второго есть выигрышная стратегия, то у него есть выигрышный ответный ход на ход первого, состоящий в поедании только правой верхней дольки. Но этот выигрышный ход первый может с тем же успехом сделать сам с самого начала, а далее воспользоваться выигрышной стратегией второго! (А так ли получается, если в шоколадке всего одна долька?)

Задача 5: На бесконечной доске двое играют в крестики-нолики. Кто поставит пять своих в ряд – по вертикали или горизонтали – выигрывает. Докажите, что при правильной игре первый не проигрывает.

Задача 6: На доске написано число 2. За ход можно к записанному числу прибавить один из его делителей отличный от самого этого числа. Проигрывает тот, кто получит число большее 1000. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия.

Решение: После первых двух ходов всегда получается число 4. Из него можно получить как 5, так и 6, но из 5 можно получить только 6. Следовательно, после числа 4 можно осуществить передачу хода в зависимости от того, выигрышным или проигрышным является число 6.

Задача 7: Двое играют в следующую игру: первый выбирает любое поле на доске 8 × 8, ставит туда а) короля; б) коня и делает ход этой фигурой, причём разрешается ходить только на те клетки, на которые раньше никто не вставал. Далее игроки ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: Выигрывает второй. Клетки разбиваются на пары стоящих «ходом короля (коня)», и как только первый поставил короля (коня) на одну из клеток пары, второй ходит на другую.